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必发官方平台|无穷大减去无穷大等于多少?到底是不是等于0?

2020-01-09 09:23:33  阅读量:2206

摘要:本文由公众号 “把科学带回家” 提供给孩子最好的科学教育你肯定曾经想过这个问题,无穷大减去无穷大等于多少呢?是一个惊悚的数学漏洞吗,还是狄利克雷算错了?这就说明了无穷大的奇异性。想想看,是不是可以重排变成:好的,加起来是无穷大∞,加起来也是无穷大∞根据黎曼重排定理,上面这种无穷大减去无穷大的结果可以是任何值,可以是你的身高,你的体重,你的生日,你的银行卡密码,也可以是无穷大。

 

必发官方平台|无穷大减去无穷大等于多少?到底是不是等于0?

必发官方平台,本文由公众号 “把科学带回家” 提供

给孩子最好的科学教育

你肯定曾经想过这个问题,无穷大减去无穷大等于多少呢?难道等于0吗?

今天就来给你答疑解惑。

先来看一个很规律的式子:

这个式子算出来等于多少呢,我们直接给结论,它等于ln(2)(如果按照上面的顺序算的话),也就是约等于0.693147。

1827年,19世纪的德国数学家约翰·狄利克雷在这个式子中发现了一个不得了的事情。

我们来看看他发现了什么。

这个式子可以这样写对吧:

那我是不是可以把里面的顺序前后换一下,写成这样:

然后我再在里面加几个括号,可以吧:

这样一来,把括号里的算一算,这个式子不就变成了:

那不就是

吗?

也就是说,上面这个式子等于ln(2)/2,原来的一半,也就是0.34657…。

这不对啊,0.693147…怎么会等于它的一半0.34657…呢?

这里到底出了什么问题?是一个惊悚的数学漏洞吗,还是狄利克雷算错了?

狄利克雷没有办法解决这个问题,只好写了篇论文把这个奇怪的现象记录了下来。

25年后,在1852年,波恩哈德·黎曼发现了这个有趣的问题,并且终于找到哪儿出毛病了。

的确等于ln(2),也就是0.693147…没错。

也的确等于ln(2)/2,也就是0.34657…没错。

所以,加括号的那一步当然也没有错。

那到底哪里出了问题?

狄利克雷刚刚犯的错误,就发生在把数字的顺序重排的过程中。

也就是说,

啊啊啊!这是为什么?

小学数学老师不是说,1+2就等于2+1么,1-2不就等于-2+1么,为什么我们不能把里面的数字重新排序呢?

这就是黎曼发现的一个事实——有限序列你可以想怎么排就怎么排,但是无穷序列你不能随便重新排序啊,重新排完了它就不是同一个东西了啊!

这就是著名的黎曼重排定理(riemann rearrangement theorem):

小学生走开别看

黎曼重排定理:如果一个实数项无穷级数若是条件收敛的,它的项在重新排列后,重新排列后的级数收敛的值可能会收敛到任何一个给定的值,甚至发散。

黎曼说,我把上面这个无穷序列打乱重排完了以后,算出来的值可以是任何数,1、2、3、4,想来啥就来啥,你要一个亿也可以给你整一个亿出来。

这又能说明什么呢?

这就说明了无穷大的奇异性。

想想看,是不是可以重排变成:

好的,加起来是无穷大∞,

加起来也是无穷大∞

根据黎曼重排定理,上面这种无穷大减去无穷大的结果可以是任何值,可以是你的身高,你的体重,你的生日,你的银行卡密码,也可以是无穷大。

所以不要乱排无穷序列啊。乱来的话黎曼老师晚上会来找你,把你的五官重排然后加括弧消去哦!

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图片来源:giphy

参考资料:

http://web.math.ucsb.edu/~mangual/divergent%20series.pdf

https://math.uchicago.edu/~j.e.hickman/163%20lecture%20notes/lecture%207%20and%208.pdf

https://sites.math.washington.edu/~morrow/335_16/history%20of%20rearrangements.pdf

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